Magische Quadrate

Ordnet man die neun Ziffern 1 bis 9 in der natürlichen Reihenfolge in ein Quadrat ein (Figur 1), so entstehen auffällige Summierungseigenschaften (beispielsweise konstante Diagonalensumme 15).

Figur 1

Wenn man nun auf dieses Zahlenquadrat die nachstehenden Anweisungen in Goethes Faust befolgt, so werden zusätzlich auch die Zeilensummen konstant mit dem Wert 15:

"Aus 1 mach 10, und 2 lass gehen,
und 3 mach gleich, so bist Du reich!
Verlier die 4! Aus 5 und 6,
so spricht die Hex, mach 7 und 8,
so ist's vollbracht!"


Figur 2

Das so entstandene Quadrat ist indessen noch nicht magisch im ursprünglichen Sinn des Worts: Nicht nur fehlen die Zahlen 1und 9, sondern auch die 0 und die 10 stören. Ausserdem ergibt die eine Diagonalensumme nicht 15. Dieser Umstand hat den Zauberkünstler Reinhard Tröstler alias Perkeo zu folgender Überarbeitung des in Figur 1 dargestellten Quadrats "frei nach Goethe" veranlasst:

"Aus 1 mach 2, und 4 aus 3,
durch Hexerei zur 9 wird 2.
Und jetzt zur 4 die 3 addier!
Doch 5 lass gleich, so wirst Du reich!
Halbier die 6, so spricht die Hex.
Nimm 1 von 7, so wird man Dich lieben.
Und 7 von 8; gleich ist's vollbracht:
Zieh ab nur noch 1 von 9, so fehlt keins.
Hast befolgt Du den Rat, gibt's ein "magisch Quadrat"."


Figur 3

Magische Quadrate der Ordnung 4 (d.h. 4 x 4 Felder) bieten bekanntlich noch mehr Summierungsmöglichkeiten als nur die Zeilen, Spalten und Diagonalen. Sie werden deshalb hie und da auch als Basis für Zauberkunststücke benutzt. Der Zauberkünstler kann beispielsweise ein 4 x 4-Schema gemäss Figur 4 präsentieren und einen Zuschauer nach einer Zahl zwischen 34 und 100 fragen.


Figur 4

Nehmen wir an, er nennt 56. Sofort kann der Zauberkünstler die 16 Quadratfelder so ausfüllen, dass als "magische Zahl" 56 resultiert:


Figur 5

Folgende Summen ergeben jeweils 56:

* 4 Zeilen
* 4 Spalten
* 2 Diagonalen
* Summe der 4 Eckfelder (23 + 18 + 6 + 9)
* 4 Eckquadrate (z.B. 23 + 8 + 10 + 15)
* 1 Mittenquadrat (15 + 18 + 12 + 11)2 Halbdiagonalen (10 + 8 + 19 +19; 7 + 13 + 14 + 22)
* 4 Randpaare (8 + 7 + 22 + 19; 10 + 14 + 13 + 19; 23 + 8 + 19 + 6; 7 + 18 + 9 + 22)
* 2 Mittenpaare (10 + 15 + 12 + 19; 14 + 11 + 18 + 13)